とても的確なご判断です。
ご指摘のような状況（旧いPHP＋バックアッププラグイン未使用・非対応）では、自己判断でバックアップを取るのは非常に危険ですので、システム管理会社に依頼するのが最も安全かつ確実な方法です。
✅ 現状の整理
- PHPが古いため、バックアップ系プラグイン（UpdraftPlus など）も動かないか、動いても不安定
- WordPress本体やプラグインは一切更新できていない
- 過去のバックアップ履歴がなく、万一失敗するとサイトが飛ぶ可能性あり
🧑💻 こういうときは「サーバーレベルでのフルバックアップ」が最適
WordPressは以下2つで構成されています：
プラグインが使えない場合、これらをFTP・SSH・phpMyAdminなどを使って手動で取得する必要がありますが、専門的かつ危険が伴うため、管理会社に依頼するのがベストです。
📝 管理会社への依頼文（例）
以下のような内容で依頼すれば、技術者に伝わりやすくなります：
件名：WordPressのPHPバージョンアップに伴うバックアップ作業のご依頼
お世話になっております。
当方のWordPressサイトについて、PHPのバージョンが現在古く、WordPressやプラグインの更新ができない状態が続いております。
つきましては、今後のPHPバージョンアップや環境移行に備え、現在のWordPressサイトのフルバックアップを取得していただきたくご相談させていただきました。
【お願いしたいこと】
- サイト全体のフルバックアップ（ファイル一式およびデータベース）
- バックアップファイルの保管（可能であれば、当方にダウンロードURL等で共有していただけると助かります）
- 作業実施後の完了報告
なお、現行環境ではバックアップ系プラグインの更新ができず、プラグインを利用しない方法での取得が必要です。
可能な範囲で構いませんので、作業可否とお見積もり（あるいは工数感）についてご回答いただければ幸いです。
どうぞよろしくお願いいたします。
✅ 補足アドバイス
必要であれば、やり取りをさらに技術寄り／やわらかい表現に調整したりもできますので、お気軽にどうぞ！
